נגזרות | נוסחאות נגזרות | חוקי נגזרות

מהי נגזרת? איך גוזרים פונקציית פולינום, מכפלה, מנה ושורש? בואו נדבר על נגזרות | נוסחאות נגזרות | חוקי נגזרות | דף נוסחאות 📐

היי לכולם! היום נדבר על אחד הנושאים המרכזיים בחשבון דיפרנציאלי - נגזרות | נוסחאות נגזרות | חוקי נגזרות | דף נוסחאות. הנגזרת היא כלי מתמטי שמאפשר לנו להבין איך פונקציה משתנה כאשר אנחנו משנים את הערך של המשתנה שלה (לרוב זה המשתנה x). במילים אחרות, הנגזרת מספרת לנו מה קצב השינוי של הפונקציה בנקודה מסוימת.

נניח שיש לנו גרף של פונקציה שמתאר איך משהו משתנה - כמו למשל המרחק שאתה עובר כשאתה רץ לאורך זמן. הנגזרת של הפונקציה הזאת תספר לנו באיזה קצב אתה רץ בכל רגע - כלומר, מה המהירות שלך בכל נקודת זמן.

במילים אחרות, נגזרת = קצב השינוי.

ולכן אם יש לנו פונקציה שמתארת כסף בבנק, הנגזרת תאמר לנו באיזה קצב הכסף הזה גדל או קטן.

הנגזרת היא פשוט דרך להבין איך משהו משתנה בצורה יותר מדויקת בכל רגע ורגע.

בואו נצלול פנימה ונתמקד בנגזרות של פולינום, מכפלה, מנה ושורש.

1. נגזרת של פולינום

כאשר יש לנו פולינום, לדוגמה:

הנגזרת שלו ניתנת לפי הנוסחה הפשוטה:

דוגמה:

נתונה הפונקציה הבאה:

הנגזרת היא:

2. נגזרת של מכפלת פונקציות

כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות: f(x) ו- g(x), הנגזרת של המכפלה ניתנת לפי הנוסחה הבאה:

דוגמה:

אם נתונות הפונקציות הבאות:

אז הנגזרת של המכפלה היא:

3. נגזרת של מנה של פונקציות

כאשר יש לנו מנה של שתי פונקציות: f(x) ו- g(x), הנגזרת של המנה ניתנת לפי הנוסחה:

דוגמה:

אם נתונות הפונקציות הבאות:

אז הנגזרת של המנה היא:

4. נגזרת של שורש ריבועי

כאשר יש לנו פונקציה שהיא שורש ריבועי, למשל

ניתן לזכור את הנגזרת בע"פ והנגזרת של המנה היא:

או שניתן לכתוב את השורש הריבועי כ-

ולגזור כמו כל פונקציה מעריכית:

דוגמה:

אם נתונה הפונקציה הבאה:

אז הנגזרת היא:

נגזרות הן כלי חיוני להבנת קצב השינוי של פונקציות שונות. התרגול על נגזרות במצבים שונים מאפשר לנו לפתח הבנה עמוקה יותר של המתמטיקה ואיך היא משפיעה על עולמנו.